Трилистник (узел)

В теории узлов трилистник[1] — простейший нетривиальный узел. Трилистник можно получить, соединив 2 свободных конца обычного простого узла, в результате чего получаем заузленное кольцо. Как простейший узел, трилистник является фундаментальным объектом при изучении математической теории узлов, которая имеет многообразные приложения в топологии, геометрии, физике, химии и иллюзионизме.

Трилистник
Левосторонний трилистник
Обозначения
Конвея	[3]
Александера–Бриггса	31
Даукера	4, 6, 2
Многочлены
Александера	${\displaystyle t-1+t^{-1}}$
Джонса	${\displaystyle q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}}$
Кауфмана	${\displaystyle za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}-2a^{2}}$
Конвея	${\displaystyle z^{2}+1}$
HOMFLY	${\displaystyle -\alpha ^{4}+\alpha ^{2}z^{2}+2\alpha ^{2}}$
Инварианты
Инвариант Арфа	1
Длина косы	3
Число нитей	2
Число мостов	2
Число плёнок	1
Число пересечений	3
Род	1
Число отрезков	6
Число туннелей	1
Число развязывания	1
Свойства
Простой, торический, альтернированный, кружевной, не срезанный, двусторонний, трёхцветный, скрученный, расслоенный
Медиафайлы на Викискладе

Описания

Трилистник можно определить как кривую, которая получается из следующих параметрических уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}x=\sin t+2\sin 2t,\\y=\cos t-2\cos 2t,\\z=-\sin 3t.\end{cases}}}$

(2,3)-торический узел является трилистником. Следующие параметрические уравнения задают (2,3)-торический узел на торе ${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}$:

${\displaystyle {\begin{cases}x=(2+\cos 3t)\cos 2t,\\y=(2+\cos 3t)\sin 2t,\\z=\sin 3t.\end{cases}}}$

Трилистник с осевой симметрией порядка 2

Любая непрерывная деформация этой кривой также считается трилистником. В частности, любая изотопная трилистнику кривая также считается трилистником. Кроме того, зеркальное отражение трилистника также считается трилистником. В топологии и теории узлов трилистник обычно задаётся с помощью диаграммы.

В алгебраической геометрии трилистник можно получить как пересечение в C² единичной 3-сферы S³ с комплексной плоской кривой нулей комплексного многочлена z² + w³ (полукубическая парабола).

Левосторонний трилистник

Правосторонний трилистник

Если один конец ленты повернуть 3 раза, а затем склеить с другим концом, получим трилистник[2].

Симметрия

Трилистник хирален в том смысле, что трилистник отличается от своего собственного зеркального отражения. Два варианта трилистника известны как левосторонний и правосторонний. Невозможно путём деформации левосторонний вариант непрерывным образом перевести в правосторонний или наоборот, то есть, эти два трилистника не изотопны.

Хотя трилистник хирален, он обратим, что означает, что нет разницы в каком направлении трилистник обходится — по часовой стрелке или против.

Трилистник позволяет трёхцветную раскраску

Простой узел становится трилистником после соединения концов

Нетривиальность

Трилистник нетривиален, что означает, что невозможно «развязать» трилистник в трёхмерном пространстве без разрезания. С математической точки зрения это означает, что трилистник не изотопен тривиальному узлу. В частности, не существует последовательности движений Рейдемейстера, с помощью которых узел развязывается.

Доказательство этого требует построения инварианта узла, который отличен от инварианта тривиального узла. Простейший такой инвариант — трёхцветная раскраска — трилистник позволяет трёхцветную раскраску, а тривиальный узел — нет. Кроме того, любой основной многочлен узла трилистника отличается от многочлена тривиального узла, как и большинство других инвариантов.

Классификация

В теории узлов трилистник является первым нетривиальным узлом и единственным узлом с числом пересечений три. Он является простым и перечислен с под номером 3₁ в нотации Александера-Бриггса. Нотация Даукера для трилистника — 4 6 2, а нотация Конвея трилистника — [3].

Трилистник можно описать как (2,3)-торический узел. Можно получить этот узел путём замыкания косы σ₁³.

Трилистник является альтернированным узлом. Однако, он не является срезанным узлом, что означает, что он не ограничивает 2-мерный диск на 4-мерной сфере. Чтобы это показать, следует заметить, что его сигнатура ненулевая. Другое доказательство — многочлен Александера не удовлетворяет условию Фокса — Милнора.

Трилистник является расслоенный, что означает, что его дополнение в ${\displaystyle S^{3}}$ является локально тривиальным расслоением над окружностью ${\displaystyle S^{1}}$. В модели трилистника как множества пар ${\displaystyle (z,w)}$ комплексных чисел, таких что ${\displaystyle |z|^{2}+|w|^{2}=1}$ и ${\displaystyle z^{2}+w^{3}=0}$, это локально тривиальное расслоение имеет отображение Милнора ${\displaystyle \phi (z,w)=(z^{2}+w^{3})/|z^{2}+w^{3}|}$ в качестве расслоения, а тор с выколотой точкой в качестве поверхности расслоения.

Инварианты

Многочлен Александера трилистника есть

${\displaystyle \Delta (t)=t-1+t^{-1},}$

а многочлен Конвея[3] —

${\displaystyle \nabla (z)=z^{2}+1.}$

Многочлен Джонса —

${\displaystyle V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4},}$

а многочлен Кауфмана трилистника —

${\displaystyle L(a,z)=za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}-2a^{2}.}$

Группа узла трилистника задаётся представлением

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle }$

или эквивалентно[4],

${\displaystyle \langle x,y\mid xyx=yxy\rangle .}$

Эта группа изоморфна группе кос с тремя нитями.

Трилистники в религии и культуре

В качестве простейшего нетривиального узла, трилистник является частым мотивом в иконографии и изобразительном искусстве.

• 
  Древне­скандинавская подвеска мьёльнир с трилистником
• 
  Простой символ трикветр
• 
  Плотный трикветр
• 
  Немецкий Валкнут
• 
  Металлический Валкнут в виде трилистника
• 
  Трилистник, используемый в Лого aTV
• 
  Ориентируемая поверхность, ограниченная трилистником
• 
  Лист Мёбиуса, ограниченный трилистником

Присутствует на современных последних норвежских монетах Харальда Хардроде (1047—1066), для которых этот тройной узел стал наиболее типичным изображением, как правило, заполнявшим поле аверса.[5]

Присутствует на западноевропейских монетах, происходящих с каролингских монетных дворов и, особенно, из архиепископских мастерских в Андернахе, Кёльне, Гюи или Страсбурге (531), мотив тройного узла с большой долей вероятности можно считать исключительно символом Святой Троицы.[5]

Присутствет на дохристианских монетах в Йорке и Хедебю, и на надгробных камнях VIII—IX вв. на острове Готланд.[5]

См. также

• Cписок простых узлов
• Список узлов

Примечания

1. Сосинский А.Б. Узлы. Хронология одной математической теории. — С. 15 — Москва: Бюро Квантум, 2009. — ISBN 978-5-85843-090-2
2. Shaw, 1933, с. 11.
3. 3_1, The Knot Atlas.
4. Weisstein, Eric W. Trefoil Knot (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Accessed: May 5, 2013.
5. Керсновский Р. Монета в культуре Средних веков. — пер. с польск. и коммент. канд. ист. наук. Т.Ю. Стукаловой — С. 414 — Москва: 2018 — ISBN: 978-5-89076-320-4

Литература

• George Russell Shaw. Knots: Useful & Ornamental. — 1933. — ISBN 978-0-517-46000-9.

Ссылки

• Wolframalpha: (2,3)-torus knot