Логарифмическое распределение

Логарифмическое распределение в теории вероятностей — класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.

Логарифмическое распределение
Обозначение	${\displaystyle \mathrm {Log} (p)}$
Параметры	${\displaystyle 0<p<1}$
Носитель	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}}$
Функция вероятности	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}}$
Функция распределения	${\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$
Математическое ожидание	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}}$
Мода	${\displaystyle 1}$
Дисперсия	${\displaystyle -p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}}}$
Характеристическая функция	${\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}}}$

Определение

Пусть распределение случайной величины ${\displaystyle Y}$ задаётся функцией вероятности:

${\displaystyle p_{Y}(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)=-{\frac {1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}{k}},\;k=1,2,3,\ldots }$,

где ${\displaystyle 0<p<1}$. Тогда говорят, что ${\displaystyle Y}$ имеет логарифмическое распределение с параметром ${\displaystyle p}$. Пишут: ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Log} (p)}$.

Функция распределения случайной величины ${\displaystyle Y}$ кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:

${\displaystyle F_{Y}(y)=\left\{{\begin{matrix}0,&y<1&\\1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}},\;&y\in [k,k+1),\;&k=1,2,3,\ldots \end{matrix}}\right.,}$

где ${\displaystyle \mathrm {B} _{p}}$ — неполная бета-функция.

Замечание

То, что функция ${\displaystyle p_{Y}(k)}$ действительно является функцией вероятности некоторого распределения, следует из разложения логарифма в ряд Тейлора:

${\displaystyle \ln(1-p)=-\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {p^{k}}{k}};0<p<1}$,

откуда

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }p_{Y}(k)=1}$.

Моменты

Производящая функция моментов случайной величины ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Log} (p)}$ задаётся формулой

${\displaystyle M_{Y}(t)={\frac {\ln \left[1-pe^{t}\right]}{\ln[1-p]}}}$,

откуда

${\displaystyle \mathbb {E} [Y]=-{\frac {1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}}}$,

${\displaystyle \mathrm {D} [Y]=-p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}}$.

Связь с другими распределениями

Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}}$ последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Log} (p),\;i=1,2,\ldots }$. Пусть ${\displaystyle N\sim \mathrm {P} (\lambda )}$ — Пуассоновская случайная величина. Тогда

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {NB} }$.

Приложения

Логарифмическое распределение удовлетворительно описывает распределение по размерам астероидов в солнечной системе.