Список центроидов

Таблица ниже представляет центроиды различных двумерных объектов. Центроид объекта ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle n}$-мерном пространстве — это пересечение всех гиперплоскостей, делящих ${\displaystyle X}$ на две части с равным моментом относительно гиперплоскости. Неформально говоря, это «среднее» всех точек объекта ${\displaystyle X}$. Для однородных объектов (по плотности, например) центроид объекта является центром масс. Для двумерных объектов, приведённых ниже, гиперплоскостями являются просто прямые.

Фигура	Рисунок	${\displaystyle {\bar {x}}}$	${\displaystyle {\bar {y}}}$	Площадь
Прямоугольный треугольник		${\displaystyle {\frac {b}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {h}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {bh}{2}}}$
Четверть круга		${\displaystyle {\frac {4r}{3\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {4r}{3\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{4}}}$
Полукруг		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {4r}{3\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{2}}}$
Четверть эллипса		${\displaystyle {\frac {4a}{3\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {4b}{3\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi ab}{4}}}$
Полуэллипс		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {4b}{3\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi ab}{2}}}$
Полупарабола	Область между кривой ${\displaystyle y={\frac {h}{b^{2}}}x^{2}}$ и осью ${\displaystyle y}$ axis, от ${\displaystyle x=0}$ до ${\displaystyle x=b}$	${\displaystyle {\frac {3b}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {3h}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {2bh}{3}}}$
Парабола	Область между кривой ${\displaystyle y={\frac {h}{b^{2}}}x^{2}}$ и прямой ${\displaystyle y=h}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {3h}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {4bh}{3}}}$
Подграфик параболы	Область между кривой ${\displaystyle y={\frac {h}{b^{2}}}x^{2}}$ и осью ${\displaystyle x}$, от ${\displaystyle x=0}$ до ${\displaystyle x=b}$	${\displaystyle {\frac {3b}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {3h}{10}}}$	${\displaystyle {\frac {bh}{3}}}$
Подграфик степенной функции	Область между кривой ${\displaystyle y={\frac {h}{b^{n}}}x^{n}}$ и осью ${\displaystyle x}$, от ${\displaystyle x=0}$ до ${\displaystyle x=b}$	${\displaystyle {\frac {n+1}{n+2}}b}$	${\displaystyle {\frac {n+1}{4n+2}}h}$	${\displaystyle {\frac {bh}{n+1}}}$
сектор	Область между кривой (в полярных координатах) ${\displaystyle r=\rho }$ и полюсом, угол от ${\displaystyle \theta =-\alpha }$ до ${\displaystyle \theta =\alpha }$	${\displaystyle {\frac {2\rho \sin(\alpha )}{3\alpha }}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \alpha \rho ^{2}}$
сегмент		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {4r\sin ^{3}{\frac {\theta }{2}}}{3(\theta -\sin {\theta })}}}$	${\displaystyle {\frac {r^{2}}{2}}(\theta -sin{\theta })}$
Четверть окружности	Точки окружности ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ в первом квадранте	${\displaystyle {\frac {2r}{\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {2r}{\pi }}}$	${\displaystyle L={\frac {\pi r}{2}}}$
Полуокружность	Точки окружности ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ выше оси ${\displaystyle x}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {2r}{\pi }}}$	${\displaystyle L=\,\!\pi r}$
Дуга окружности	Точки окружности (в полярных координатах) ${\displaystyle r=\rho }$ от ${\displaystyle \theta =-\alpha }$ до ${\displaystyle \theta =\alpha }$	${\displaystyle {\frac {\rho \sin(\alpha )}{\alpha }}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle L=\,\!2\alpha \rho }$

Литература

• Andrew Pytel, Jaan Kiusalaas. Engineering Mechanics: Statics. — Cengage Learning, 2009-03-06. — 605 с. — ISBN 1111780269.

Ссылки

• http://www.engineering.com/Library/ArticlesPage/tabid/85/articleType/ArticleView/articleId/109/Centroids-of-Common-Shapes.aspx
• http://www.efunda.com/math/areas/IndexArea.cfm